Endeffekte in der stochastischen Optimierung

Viele Problemstellungen aus dem Finanz- und Energiebereich werden heute mittels der mehrstufigen stochastischen Optimierung gelöst. Dieses Optimierungsverfahren erlaubt eine adäquate Modellierung der Unsicherheit der problemspezifischen Einflussgrössen und berücksichtigt den Einfluss späterer Korrekturmassnahmen auf den heute zu treffenden Entscheid. Ein Bestandteil jedes solchen Modells ist der Planungshorizont T, welcher endlich sein muss. Es gibt aber Problemstellungen, die an sich einen unendlichen Horizont aufweisen, z.B. die Bewirtschaftung von so genannten Bodensatzprodukten non-maturing assets & liabilities in der Bilanz einer Bank wie Spargelder oder Hypotheken. Bei diesen Positionen sind die Laufzeiten unbestimmt, daher kann bei der Modellierung kein (endlicher) Zeithorizont festgelegt werden.

Zur Lösung derartiger Probleme sind aus der Literatur allgemeine Approximationen bekannt, die eine untere Schranken für ein "Unendlich-Horizont-Modell" liefern und gegen dieses konvergieren. Hingegen sind in der stochastischen Optimierung bislang keine Ansätze zur Konstruktion allgemeiner oberer Schranken bekannt. Dies wäre eine wichtige Voraussetzung, um auch den Fehler berechnen zu können, der durch eine Approximation des Unendlich-Horizont-Problems durch ein solches mit endlich vielen Stufen entsteht, weil der wahre Wert zwischen den beiden Schranken liegen muss und somit deren Differenz ein Mass für die Ungenauigkeit darstellt. Das Ziel des beantragten Forschungsprojektes ist daher die Entwicklung von Verfahren zur systematischen Konstruktion oberer Approximationen von mehrstufigen stochastischen Optimierungsproblemen mit unendlichem Horizont. Damit kann der Einfluss einer mehr oder weniger willkürlich festgelegten Stufenanzahl, wie sie bei vielen Problemstellungen üblich ist, erstmals genau quantifiziert werden.

Approximationsverfahren werden innerhalb der stochastischen
Optimierung auch zur Konstruktion von Szenariobäumen verwendet, da die entsprechenden Optimierungsprobleme in der Regel erst durch
eine Diskretisierung stetiger Verteilungen der relevanten Risikofaktoren gelöst werden können. Das Institut hat auf diesem Gebiet bereits zahlreiche, in führenden Journals publizierte Forschungsergebnisse erzielt (vgl. die Arbeiten von Frauendorfer zur baryzentrischen Approximation). Die Erkenntnisse aus dem beantragten Projekt sollen daher nicht nur als solches publiziert werden, sondern auch als Grundlage für ein Gesuch an den Schweizerischen Nationalfonds dienen, um in einem umfangreicheren Forschungsvorhaben die hier entwickelten Schranken für Unendlich-Horizont-Modelle mit der Theorie für Approximationen stetiger Verteilungen verbinden zu können.